Problem Set No.1-4

呢幾個week為左要做有賞問答，整左5set問題... 9/12-15/12 係 No.5... 每份大約5-10條啦~ I~X+係難度。 SET 1 序列 1) 如果, f(x) 對所有實數都有定義(i.e., f(x)對所有實數都計得出)，而 對任何a和b, f(a+b)=f(a*b)，f(-1/2)=-1/2。那麼f(1988)是幾多？ resource: IMO preliminary (hk) 2a) 列出下個數: 1,1,1,2,4,8,3,9,？ 2b)計算以上數列頭18個和。 3)列出 1,4,3,9,8,64,？,？ 4)計算 1+4+9+16+...10000 SET 2 代數- 1)VII證,對於任何自然數n, (4n+2)開方都不是整數 2)IX如果 a,b,c 是 x^3+ax^2+bx+c=0 的3個解, 求 a,b,c。 3)如果f(x)=x^2-1. a)IV證, f(1294)除盡1295. b)VI解方程 4[f(n)]=f(2n-1) 4)VIII解方程 |1-x|=|2x-6| SET 3 Factorial 1)已知 x!=1x2x3x...x. 己知 N! 大約等於 (n^n)(e^n)(開方(2pi n)) e=2.7182818... pi=3.14159265... a)III求 1!+2!+3!+...5!之個位數。 b)V利用 Part a, 求 1!+2!+3!+...2007!之個位數。 c)VI求100!有幾個0. d)VIII求72!大約有幾多個位。 2)VII求 聯立方程 {4x^2+y^2=8,xy=-2}之解。 3)如果 f(n)=n^2-9 a)IV證 f(3n) 除盡 n+1 b)VI解 2f(3n)=f(4n)。 c)IX利用 Part a, 拆 f(99999) 為質因數連乘式。 d)X利用 Part a,解 f(12)=x(f(x)-f(x-1)) SET 4 質數 1)已知 小過N的質數約為 N/ln N , it means Log base on e=2.718281828... (Log定義為如果 a^x=y ,Log y=x base on a.) a)IV求100以下質數個數。實際個數! b)VI求1000以下質數個數。實際個數! c)IX求1000000000以下大約質數個數(用上式) d)X+已知小於10^6的質數有78498個， 小於10^9的質數有50847534個， 小於10^12的質數有37607912018個， 小於10^15的質數有29844570422669個， 小於10^18的質數有24739954287740860個， 利用提供之式，比較約值，實際數目及相對誤差，判斷 pi(N) ~ N/ ln N 應該是否正確 2)VII解聯立方程：{x^2y-xy^2=18, x-y=9} 3) a)V解2(2x+3)+3=20 b)V用a之x值，解 16xy=y(4x+22)+21x-11 c)V利用上之x,y值，解32xyz=4x+8y+16xy+xz+yz-97z d)VIII利用上之x,y,z值，求2xyz+(x+y+z)^3-(xy+yz+xz)^2+4(x^y)z (correct to 3 sig. fig.) SET 5 函數 1)已知 f(x)=7x-5. a)II求f(21). b)V解f(4x)=2f(x)+f(2x) c)VIII證 f(nx) 恆等於 nf(x)-5x+5 2)已知 g(x)=n^4-n^2-20. a)II求g(5). b)VII解16g(x)=g(2x)+2x^2 c)IX接3b)，證如果 y^4-y^2+z=0 並且 y^4不等於1， y^4g(x)=g(yx)+zx^2 將會矛盾，無解。(y,z是任意實數。) 3)己知f(x)及g(x)是數字加密的程序。 a)IV求f(g(4)+4). b)VIII已知h(x)=x^3. 求 h(f(g(x))+145) ，並因式分解。 c)X+比較 g(x) 和 h(x) ，那一個比較安全？加密後一定能逆向求x？(Hints: 有一些方程式是不只一個實根的。)