Sunday, 2 March 2008
定義 sgn(x)
通常sgn(x)會定義為|x|=xsgn(x),即|x|=x->sgn(x)=1, |x|=-x->sgn(x)=-1
可是對於|x|=x=0時,sgn(0)是甚麼?
畫一個|x|=y的圖,得到一個「V」字,而x=y的圖就不用說了。
而|x|=xsgn(x),|x|/x=sgn(x),兩者相除當然是個0/0的不定式,|x|和x均為連續的函數,取|x|/x在0的極限,二次方得|(x^2/x^2)|=|1|=1,即sgn(0)=1。
事實上,有不少取正值(不同複數的「絕對值」)上的問題如果定義sgn(0)=1會無解,例如:
|[x]^2-{x}|=[x]^2
([x]^2-{x})sgn([x]^2-{x})=[x]^2
sgn([x]^2-{x})=[x]^2/([x]^2-{x})
解1:當[x]^2>0,{x}>0, [x]^2/([x]^2-{x})>=1, sgn([x]^2-{x})=1
[x]^2-{x}=[x]^2
{x}=0,x為任意整數。
解2:當 [x]=0,{x}>0,,[x]^2/([x]^2-{x})=0,sgn([x]^2-{x})=0
[x]^2-{x}=0
[x]^2={x}
[x]=0, {x}=0, x=0 (因為0=<{x}<1)
或 [x]^2-{x}=0=[x]^2
[x]=0,即x可以為[0,1)之間任可數,但當{x}>0, sgn([x]^2-{x})=-1,矛盾!
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
No comments:
Post a Comment