定義 sgn(x)

通常sgn(x)會定義為|x|=xsgn(x)，即|x|=x->sgn(x)=1, |x|=-x->sgn(x)=-1 可是對於|x|=x=0時，sgn(0)是甚麼？ 畫一個|x|=y的圖，得到一個「V」字，而x=y的圖就不用說了。 而|x|=xsgn(x)，|x|/x=sgn(x)，兩者相除當然是個0/0的不定式，|x|和x均為連續的函數，取|x|/x在0的極限，二次方得|(x^2/x^2)|=|1|=1，即sgn(0)=1。 事實上，有不少取正值(不同複數的「絕對值」)上的問題如果定義sgn(0)=1會無解，例如： |[x]^2-{x}|=[x]^2 ([x]^2-{x})sgn([x]^2-{x})=[x]^2 sgn([x]^2-{x})=[x]^2/([x]^2-{x}) 解1：當[x]^2>0,{x}>0, [x]^2/([x]^2-{x})>=1, sgn([x]^2-{x})=1 [x]^2-{x}=[x]^2 {x}=0，x為任意整數。 解2：當 [x]=0,{x}>0,，[x]^2/([x]^2-{x})=0，sgn([x]^2-{x})=0 [x]^2-{x}=0 [x]^2={x} [x]=0, {x}=0, x=0 (因為0=<{x}<1) 或 [x]^2-{x}=0=[x]^2 [x]=0，即x可以為[0,1)之間任可數，但當{x}>0, sgn([x]^2-{x})=-1，矛盾！