## Sunday 25 September 2022

### Little math update

Something that I should jot down as diary...

IMO this year was easy in the sense that Q1,2,4,5 are all classified easy under my standard. Namely, I can almost immediately (i.e. maybe 15 mins) figure out an outline that eventually works. That usually applies only to Q1, 4 and 2 occasionally, but definitely not 5.

Q1 is a nice little problem, a rather rare combinatorial question that is put up front. The key is to realize that the operation puts the number of chains into a non-increasing sequence, and the only it does not decrease if and only if you are moving the first or last chain. From here the lower bound is obvious. Then you move the last chain a cyclic shift occurs so you need at least 4 chains to force the dead loop, so you can not have k larger than quarter-to-last of 2n. Tightness of the bound follows from the same idea.

People have been realizing that no matter how messy the inequality questions are the contestants will eventually find a way to brute force it and we saw no inequality question this year again. Q2 looks like a functional equation problem but you immediately realize that inequality technique is the only way out.

When you run through positive reals so x and y on the LHS could get pretty big, forcing f to be of o(1/n). Apply the same argument when x and y are small and you know f needs to be O(1/n) close to zero. With $y/x+x/y \geq 2$ in mind, it is almost obvious that$f(x)=1/x$ is probably the only answer unless there exists some galaxy brain functions.

The proof though not super hard, is still something that barely meets (or misses) the standard of Q2 which requires non-obvious AM-GM. A bit unfortunate though I think the most direct solution involved perturbation where inequality applies to a point and its neighborhood. Some may not be happy with the calculus flavor in it.

Q4 is geometry so nothing to comment about but it is...a Q4 and as hard as it should be.

I am fairly surprised for Q5 to be this easy like almost shocked. Prime power chasing gives you reasonable bound like 10 on the factorial. After that an average high school Olympiad contestant can do that.

As usual Q3 and 6 are a bit too hot to attempt, but 3 is really elegant in my eyes.

*

I didn't cover Simon Marais last year as well and the next one is coming. If you are reading this and is a current undergraduate in one of the participating school you should really give it a go!

My comment to the overall design of the problem set still stands: the first three are always too easy and the fourth is impossible. In other words, only one question out of four (Q3) makes sense. This year though they make Q4 a bit more approachable which is a nice start.

My focus is on B3 though:

(SM2021 B3) Find all real functions f that satisfy the following:
1) The function f is Riemann integrable over all finite real intervals. and
2) For all real x and positive integer n we have
$$f(x) = \int ^{x+1/n}_{x-1/n}f(t) dt.$$
The solution is of course linear functions. To prove it the first step is proving the continuity of the function which should be the must take step without any doubt. But then the rest of the official solution triggered me to think of something else.

It is the easiest to prove linearity by showing that the derivative is constant, or that the second derivative is zero. But then you need differentiability. There are two ways to prove differentiability: one is the first definition and the other is by FToC. First definition might be out of reach because condition (2) is for integer n but not for large enough positive reals, then there may be technical problem when you take the limit to zero.

The official solution uses FToC and writes f as a sum of its integral F, and hence is differentiable. From there it repeats and show that f'' = 0 showing that f must be linear which indeed satisfies the conditions.

But are there any ways to prove linearity without using derivatives? Specifically, are there any ways to replace the condition f'' = 0? The answer is convexity.

If we define a function f to be convex in (a,b) if $f(x) < f(a) + (x-a)(f(b)-f(a))/(b-a)$ for all $a<x<b$. Obviously if it is convex on an interval then it is convex on any of its subintervals. One can then argue that condition (2) fails for x in any convex interal. Eventually f cannot be convex at any point. Similarly f cannot be concave at any point.

That forces the equality $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ which gives linearity (...or differentiability if you like but we don't need that already).

There is a technical problem though. We cannot exclude functions that the intersection between the function and the line between $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$ being dense on the line for every real a and b. If we know differentiability then this is immediate (in the official solution the first derivative is obvious -- try it yourself!). Again, any solution that completely avoids differentiability? I am not so sure.

This is what I got during my bath. In 15 minutes, a lot longer than usual.

## Saturday 17 September 2022

### 被青梅竹馬抓來(略) (5)：要防飛刀就要用水鏡折射

Character design: @kuonyuu, Illust: しらみ/白夢しらみ commissioned by forretrio. Pixiv
Editing and re-posting are prohibited // 無断転載、無断使用禁止です

*

「你哪一隻眼看到是給你們班級的啊？這裡分明寫著三年級用的吧！」蓋伊指著地圖左側一張另外貼上去的筆記道：「這是個距離王都一小時車程的地下城。地下六層以下未被完全探明，但根據其他目擊報告來看應該沒有意料之外的危險。課題是探索第六層未開發的區域，作為暑假回來的熱身十分合理。」

「唔～原來三年級都在玩這些，可惜我還沒讀到就跑了呢。」

「別開玩笑了，你以為我沒聽過你在邊境冒險的功績嗎？」他轉身指向另一張地圖。相較三年級那張只填了一半的地圖，蓋伊正指著的這張地圖非常完整，其地形也簡單得多。「這張才是給你們玩的。」

「嗯……」這次他很快就在地圖旁邊找到指示：「王都裡面的地下城、地下二三層、課題是探索定點及收集指定素材－－那個地下城不是人超多那一個嗎！還要是這種層數，與其說是探險不如說是郊遊吧。說不定在裡面要找個地方野餐都不容易呢！」

「沒錯，就是郊遊。而且你一年級第一次去地下城的時候不也是同一地方同一課題嗎？」

「你這樣一說我好像記起來了……」

「那我問你，你在公會裡是怎樣訓練新人的？」

「我們可不會考慮沒有探險經驗的新人的啊。一上來就可以在指導員陪同下隨隊，習慣了以後逐漸把工作強度加上去，跟不上的話就淘汰掉，就是這麼簡單。」

「這麼說來這裡最大的問題是探險經驗不足所以只能先從最簡單的任務累積經驗，還有公會的指導方法沒法應用在一大群學生身上吧。」

「別以為我不知道你在想甚麼，」蓋伊哼了一聲：「你跟王女殿下侍衛的互動都傳到我這邊來了。我看你又想把教學方案打倒重來吧？」

「不要誤會，我只是覺得做些浪費時間的事情對大家都沒好處而已。」庫里斯連忙澄清：「不如你把時間省下來上課，然後把學生分成小組由我和你分批帶他們進地下城歷練？就算我們不能像公會那樣一個指導員帶一個新人，帶一個小隊效果也比帶一整班讓他們自由發揮好多了。」

「我才不要。」蓋伊拒絕的很乾脆：「我又不是你學生，沒義務為了你增加自己的工作負擔。帶一次幾乎要用上一整天，你以為我跟你一樣在王都了無牽掛可以把時間花在學生身上嗎？」

「習慣了在公會帶新人的你在這裡帶人郊遊就不覺得無聊嗎？你就不想試試新的方法嗎？」

「……」

「嗯這個沒問題。」

「我有兩個條件：一、我要你幫我跟我一些老朋友組隊去打一些素材回來。」

「如果不影響教學進度這個可以啊。」

「第二……我倒想看看你實力如何，到底憑甚麼得到不同小隊的青睞。」說罷便從腰間抽出一把匕首。作為新人指導他各種武器都略會一點，但靈活多變的匕首才是他的至愛。

「不覺得試探別人實力是件很不禮貌的事嗎？」話雖如此說，一把翠綠色的短劍浮現在他的右手上。忽然他看見蓋伊老師身後浮著甚麼若有若無的東西，當下便把短劍縮成匕首的長度。

「看穿了嗎，果然是風魔法的專家。」蓋伊擺出戰鬥姿勢，匕首緩緩舉到胸前。

「你也不賴嘛，我甚至感覺不到你把空氣劍召喚出來。換成其他人的話大概被逼近時才會發現，那時就難以防備吧。」庫里斯終於看清對手身後之物為何，是兩把近乎透明的小刀。他腦海中瞬間閃過千百個小刀的可能軌跡，左手已準備好發動魔法；「啊，在這裡開打沒關係嗎？」

「點到即止，一招決勝負吧。」「好！」

「我已經把空氣劍催到最快，你是怎樣避開它們的？」蓋伊後退一步把匕首收回鞘中。

「我把那兩把劍都鎖定起來，這樣它們一動我就知道。其中一把飛得比較快，但又快得沒法一百八十度大轉彎，這樣我就猜這把的目標不是我而是我身後的空間。這樣另一把的目標肯定就在我身上了。我用了一個小把戲讓它改變方向－－」庫里斯手上出現了一個水球。

「水？」

「確切地說是水製的鏡片，嗯～有點難解釋呢。你有看過光線在水中折射嗎？同樣的原理讓這把高速飛行的劍射進水裡，其方向就會產生偏折。這是我能想到對付高速物體最有效的方法了。」

「你的刀法也不賴嘛。魔法推動加上你的力量疊加起來非常可怕，我還是第一次看見魔法劍一個交手就差點被砍斷呢。」

「差一點就是差一點，在冒險時自信一擊沒造成傷害的話自己就危險囉。」

「因為你是由下而上的砍過來，如果沒砍中的話你就會借勢後退了吧。」

「那是當然。這種程度的攻防對我們來說已經是反射反應，根本不值一提。」兩人相視一笑，商業互吹至此為止。

「嘛～既然公事談完了要不要一起去吃個飯？我請客，算是答謝你昨天幫我解圍。」

「好啊，我也差不多餓了。」

「想吃甚麼呢？」

「我想吃烤肉跟喝酒。」

「中午也吃烤肉？！？」

「中午吃烤肉很奇怪嗎？別忘了我以前也是冒險者，大口吃肉不是很正常嗎。」

「也對啦。嗯……我知道城北有一家用碳爐烤肉好像風評不錯，要不要試試看？」

「那還等甚麼，快點去吧！」

(待續)

*最後修改 02/06/2023 v1.1
28/1/2024 v1.2

*

- 關於那個宮庭魔法師作為一個組織的定位看上去有點像大雜燴(事實上的確也是，就看你能認出多少現實中的參照了)，但是我覺得這是合理的。主要平時對他們沒有很大需求但有必要把他們捆在王室身邊，同時養這群人的成本很高，要以外面的公價讓他們全職工作根本不切實際。

- 有人會提議宮庭魔法師應該改成六年試用期，通過試用期則成為終身職的玩法－－這個太硬核了吧！在這裡宮庭魔法師原則上就是終身職，但隨年紀和資增長實職裡面各人所擔任的職務可能會有所改變，退休者則會被移到虛職那邊。

- 其實折射率也可以透過增壓來達成，其效果可能比水還要好，那為甚麼擅長風魔法的人會用水球製造折射呢？其實變水球出來是個三歲小孩都會的小把戲，比壓縮空氣簡單多了。如果沒辦法確認飛刀的位置的話，改成用水牆也相對容易一點。這讓我想起今年台灣分科試物理科那道題：把一塊長方體的玻璃磚在平面上，透過玻璃磚觀察平面被折射偏移的差距是多少呢？當然還有一個考量就是飛刀不比光線，飛刀是有重量的。要改變其方向用較重的水球也比較穩妥。

- 最近日圓太便宜讓我染上一直發委託的壞習慣，同時也因為匯價問題我快捨棄其他港台平台了……等以後有機會我會試試可以刷卡的clibo吧。

- 啊……好想吃碳爐烤肉/內臟啊。

Character design: @kuonyuu, Illust: Dorq commissioned by forretrio. via Skeb.
Editing and re-posting are prohibited // 無断転載、無断使用禁止です

## Monday 12 September 2022

### 11/9/2022: HM/PS/¥

//常期望安定　還期望即興

//這個漂亮朋友道別亦漂亮　夜夜電視螢幕繼續舊形象

## Wednesday 7 September 2022

### 夢．十夜 (X5) City of Dreams

Christmas in the 13th month。

「仙境傳說啊……」樂曲完結，樓下傳來的掌聲似乎比前幾首稀少。少年有感而發問道：「如果讓你點的話下一首會是甚麼呢？」

「我想……應該是楓之谷夢之都那首BGM吧。跟Christmas in the 13th month一樣是輕快舞曲，也是SoundTemp他家用古典樂器最純正的一首了。而且你不覺得，這裡跟夢之都有點像嗎？」

「一座以吃喝玩樂為主的小鎮，這樣比的確是有點像。跟上次我們過來相比，這次旅客的人數變多了，公園邊上的小市集也更具規模。到了晚上這種嘉年華般的氣氛配這兩首再適合不過了。」

「不過很奇怪啊，這種地方不是夏天才多人來的嗎？現在可是一年最冷的時候，這幾天天氣很差又下雨又刮風，真佩服那些在外面喝酒的人，換成我早就縮回酒店裡去了。」

「要我來說的話下雨才好呢。那些半山的建築地盤和市中心的街道重整把沙子弄得到處都是，風一吹起來直接就變成沙塵暴了……剛剛我們出去吃飯時剛下過雨空氣清新多了。」

「這樣說我們上次來的時候這個小鎮的風景加上這次的人潮和氧氛，這樣比較像夢之都囉？」

「……」少女嗯了一聲不再說話，專心舔著自己的雪糕。奏者大概知道演奏點普通的東西才能吸引一般人，於是演奏起韋華第的四季．冬起來。其優雅的旋律與天候正好相襯，就是不清楚樓下的觀眾有沒有意識到這一點。

「明天和後天的空中觀光行程因為天氣取消了。妳有甚麼地方想去的嗎？」

「這是你應該要想的事情吧。」

「要不我們坐車到處觀光吧？飛機的確因為天氣問題飛不了，但我看過我們的目的地那邊天氣還可以，坐車就能到就是坐四五個小時長了一點－－」小鎮同時也是更偏遠區域的樞紐，街上的旅行社不少都做這種即日來回的旅行團。可是這種要早上六點半起行，光坐車就要花上九到十個小時的玩法也不在少女的考慮之中，為此他才特地改為使用小型飛機來回。現在再次提出這個建議的他，才說到一半看到少女把頭歪向一邊就知道這樣也行不通。

「你知道嗎？這家酒店用星鏈上網。」他想展露一個胸有成竹的微笑，但還在跟雪糕奮鬥的他還不能這樣做。雪糕筒以上的雪糕已經被他光速吃掉，只剩卡在裡面黑巧克力雪糕－－想要優雅的把雪糕吃完還有最後一道關卡，那就是溶到底部的雪糕。吃太快的話一口下去它們可能會噴出來，吃太慢的話雪糕筒則可能化掉。少年的做法是把一整塊雪糕直接吸起來吞到嘴裡，這樣就能確定裡面有多少溶掉的雪糕了。

「……所以呢？」

「以前都說人在外地想玩那些網遊不管是正版還是私服延遲都大到不得了。現在有星鏈上網應該就能暢玩那些遊戲了吧？」

「嗯～那妳想玩點甚麼呢？要不玩玩楓之谷？剛才樓下的演奏讓我回去夢之都再推一次露希妲了，雖然只有我們兩個有點困難……或者彩虹冒險？延遲大其實打打MMORPG還行，打彩虹冒險這種動作遊戲還是需要完善的網絡呢。還是－－」

「「古龍同萌傳。」」兩人異口同聲地說出了這個遊戲，隨即相視而笑。

「彩虹冒險是好，但私服要從白板備開始打上去就太沒趣了。畢竟時間有限，當然要玩有現成帳戶的遊戲呢。」少女俐落地打開電腦並啟動古龍同萌傳Online，這台年齡不到三歲的電腦裡其實早就裝好了這個古老的網遊。

「七夕活動？我都不知道這遊戲有七夕活動，是那一年的？」

「二零零四年啊。」

「靠！」「這是遊戲剛開沒久的時候吧！」「你們玩的時候我還沒出生呢！」「遠古玩家回鍋！」驚呼聲此起彼落，還有人使用全頻喊話：「我們在成都市集看到睡衣情侶紙娃娃裝想問還有其他人有嗎？請私我收一套」云云。

「所以你們幾等和屬於哪個公會的，要不要跟我們跑副本？我們正好缺二。」領頭人繼續問道。

「我們都是109等，公會是殘楓……有沒有聽過？」

「啊……沒聽過……」那是當然，這個公會早就被代理商弄沒了。「不過你們的戰力應該很夠了，現在有空的話來跑副本吧。」

「「好啊！」」

*

***